1.2 Quantitative Measures - Measures of Position

1.2 Quantitative Measures

3. Measures of Position

특정값이 자료의 다른 관측값들 사이에서 어디에 위치하는지 파악하고자 할 때, 가장 널리 쓰이는 것은 percentile, quartile, standard score(or Z-score) 이다. 

• Percentiles

전체 자료의 관측값을 increasing order(오름차순)으로 정렬했을 때, 자료를 같은 크기의 100개 구간으로 나누어 주는 값들을 percentiles이라고 한다.

Percentile이 $P_i$인 수는 자료 전체에서 $P_i$보다 작은 관측값이 전체 자료 중에 $i$퍼센트이다. 예를 들어, percentile이 50인 수는 $P_{50}$으로 나타내고 전체 자료 중에  보다 작은 관측값의 비율이 50%이다.

• Quartiles 

오름차순으로 정렬된 자료를 같은 크기의 4개 부분으로 나누어 주는 값이다.

이 때 4부분을 구분하는 수를 오름차순으로 각각 Q1(first quartile), Q2(second quartile), Q3(third quartile)라고 한다.

• Z-score 

주어진 관측값이 평균으로부터 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지 나타낸다.

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Z-score

$$Z = {(X - \mu ) \over \sigma} $$

$Z$는 Z-score, $X$는 관측값, $\mu$는 population mean, $\sigma$는 population standard deviation

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Empirical rule

Z-score는 다음과 같이 해석한다. 

$Z<0$ 인 관측값은 mean보다 작다.

$Z>0$ 인 관측값은 mean보다 크다.

$Z=0$ 인 관측값은 mean과 같다.

$Z=1$ 인 관측값은 mean보다 1 standard deviation만큼 크다. 

$Z=2$ 인 관측값은 평균보다 2 standard deviation만큼 크다. 등등

$Z=-1$ 인 관측값은 평균보다 1 standard deviation만큼 작다. 

$Z=-2$ 인 관측값은 평균보다 2 standard deviation만큼 작다. 등등

관측한 자료의 개수가 충분히 큰 경우에 

$-1\le Z\le 1$ 전체 자료의 약 68%는 -1과 1사이의  를 갖는다.

$-2\le Z\le 2$ 전체 자료의 약 95%는 -2과 2사이의  를 갖는다.

$-3\le Z\le 3$ 전체 자료의 약 99.7%는 -3과 3사이의  를 갖는다.

Problem

A national achievement test is administered annually to 3rd graders. The test has a mean score of 100 and a standard deviation of 15. If Jane's Z-score is 1.20, what was her score on the test? 

(A) 82

(B) 88

(C) 100

(D) 112

(E) 118

$ X=\mu + \sigma \times Z = 100 + 15 \times 1.20 = 118 $

Answer : (E)