1.2 Quantitative Measures - Measures of Variation

1.2 Quantitative Measures

2. Measures of Variation

통계학에서 자료의 variability(spread)를 정량적으로 표현하기 위해서는 range, interquartile range(IQR), variance, standard deviation를 주로 사용한다. 

• Range

자료의 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)의 차이(difference)이다. 

예를 들어 1, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 11 의 Range는 11 – 1 = 10 이다. 

• IQR (Interquartile Range) 

중간 50%에 해당하는 자료의 최댓값과 최솟값의 차이이다. 먼저 자료를 크기가 커지는 순서(increasing order)로 배열한다. 정렬된 자료의 하위(lower) 25%와 상위(upper) 25%에 해당하는 측정값을 제거한다. 남아 있는 중앙(middle)50% 측정값의 최댓값과 최솟값의 차이를 구한다.

예를 들어 1, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 11 의 IQR를 구해보자. 먼저 하위 25%, 상위 25%에 해당하는 수를 없애면 4, 5, 5, 6 이 남는다. 따라서 IQR = 6 - 4 = 2 이다.

• Variance 

---

Population variance

$$\sigma^2 = {\Sigma (X_i - \mu )^2 \over N} $$

$\sigma^2$는 population variance, $\mu$는 population mean, $X_i$는 population의 $i$번째 관측값, $N$은 population 관측값 개수

Sample variance

$$S^2 = {\Sigma (X_i - \bar X )^2 \over n-1} $$

$S^2$는 sample variance, $\bar X$는 sample mean, $X_i$는 sample의 $i$번째 관측값, $n$은 sample 관측값 개수

---

만일 sample variance를 계산할 때 sample size $n$을 사용하면, sample variance의 평균값은 항상 실제 population variance보다 작은 값을 갖게 된다. 이러한 경우를 biased estimator라고 한다. 따라서, 통계학자들은 $n$  대신 위의 식과 같이 $n-1$을 사용하면 sample variance의 평균값이 실제 population variance 값과 같아진다는 사실을 밝혀냈다. 이 경우 sample variance는 unbiased estimator가 된다. 따라서, 알지 못하는 population variance의 값을 추정(estimate)하고자 할 때는 sample을 뽑아서 sample variance를 구해서 추정한다. 

• Standard Deviation

---

Population standard deviation

$$\sigma = \sqrt{\Sigma (X_i - \mu )^2 \over N} $$

$\sigma$는 population standard deviation, $\mu$는 population mean, $X_i$는 population의 $i$번째 관측값, $N$은 population 관측값 개수

Sample standard deviation

$$S = \sqrt {\Sigma (X_i - \bar X )^2 \over n-1} $$

$S$는 sample standard deviation, $\bar X$는 sample mean, $X_i$는 sample의 $i$번째 관측값, $n$은 sample 관측값 개수

---

종종 단위를 변환해야 하는 경우가 있다(min→hr 또는 cm→m 등). 이런 단위 변환이 variability에 어떤 영향을 주는지 살펴보자.

만일 각 관측값에 상수 $a$ 를 더한다면 각 관측값 간의 차이(difference)는 변하지 않는다. 따라서 모든 measure of variability(range, IQR, variation, standard deviation)는 변하지 않는다. 하지만, 각 관측값에 상수  $a$를 곱한다면 모든 measure of variability(range, IQR, standard deviation)은  $|a|$배가 되고, variance는  $a^2$배가 된다. 

Problem

A population consists of four observations: {1, 3, 5, 7}. What is the variance? 

(A) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) None of the above

먼저 population mean을 구하면,  $\mu = { {1+3+5+7} \over 4 } = 4 $

따라서, $\sigma^2 = {\Sigma (X_i - \mu )^2 \over N} = 5 $    

Answer : (C)

Problem

A sample consists of four observations: {1, 3, 5, 7}. What is the standard deviation? 

(A) 2

(B) 2.58

(C) 6

(D) 6.67

(E) None of the above

먼저 sample mean을 구하면,  $\bar X = { {1+3+5+7} \over 4 } = 4 $

따라서, $\S = \sqrt {\Sigma (X_i - \bar X )^2 \over n-1} = 2.58 $    

Answer : (B)