[Q] vector space 증명

안녕하세요, OO이에요

이번 시험에서 좀 비중이 큰 문제를 틀려버렸는데요.. ;

Let V be the set of all 2x2 matrices with the property that B^T (transpose) = B. Show that V is a vector space.

벡터 스페이스가 자꾸 헷갈리네요 ;; 이건 책에 나오는 10 axioms 외우는 수 밖에 없는 건가요?

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벡터 스페이스는 질문한대로 책에 나오는 10 axioms를 만족하는 nonempty set V를 말하는 겁니다. 10 axioms을 외워야 합니다만, 잘 보면 number operation에서 addition에 대해 닫혀있는(closed) 경우와 유사합니다. 쉽게 말해 주어진 집합의 임의의 두 원소를 선택해 덧셈을 한 결과가 해당 집합의 원소이면 됩니다. (벡터 스페이스는 원소 형태가 matrix)

Scalar multiplication은 덧셈을 반복한 것이므로 (예를 들어 3x=x+x+x) 덧셈에 대해 닫혀 있으면 scalar multiplication은 당연히 성립합니다. 

가 되는데, 더한 결과 역시 (1,2) 성분과 (2,1) 성분이 같은 행렬이므로 set V의 원소가 됩니다.

따라서, 주어진 set V는 vector space가 됩니다. (scalar multiplication은 당연히 성립)

 

또, O matrix도 당연히 set V의 원소이므로 (형태에서), vector space의 10 axiom을 모두 만족하게 됩니다.

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그리구 eigenvector 와 eigenvalue에 대해선데요
만약에 Matrix A 에 V를 곱했을때 나오는 값이 V의 scalar multiple 이면 V 는 A 의 eigenvector 가 되는건가요?

감사합니다.

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맞습니다!!!